Q∈M H(Q|P ) 同様に - 講演資料置き場名城大学春季セミナー2015 2nd body

. . . .

基本的な量

U

^′

(x) = αe

^−αx

= αU (x) I (x) = − 1

α log y

α , U(y) = ˜ − y α + y

α log y α

とりあえず

V ˜ (y)

の計算をしてみると…

V ˜ (y ) = inf

Q∈M

E [

U ˜ (

y dQ dP

)]

= inf

Q∈M

E [

− y α

dQ dP + y

α dQ dP log

( y α

dQ dP

)]

= inf

Q∈M

{ U(y ˜ ) E [ dQ

dP ]

+ y

α H(Q|P )}

= U(y ˜ ) + inf

Q∈M

H(Q|P )

. . . . . . . .. . . .

Utility Indifference Price

Utility Indifference with Exponential Utility

-2-..

Duality

より

V (x) = inf

y>0

{ V ˜ (y) + xy}

= inf

y>0

{ y

α (−1 + log y/α) + y inf

Q∈Q

H(Q|P) + xy}

= − exp(−αx − inf

Q∈M

H(Q |P))

= − exp(−αx − H( ˆ P|P)), where ˆ P is MEMM

同様に

V

^nH

(x) = −exp(−αx − inf

Q∈M

{H(Q|P) + αn E

[H]}) Utility indifference price p

⁽ⁿ⁾は,

V

^nH

(x − np

⁽ⁿ⁾

) = V (x)

を解いて

p

⁽ⁿ⁾

= 1 αn

{

Q∈M

inf (H(Q|P) + αn E

[H]) − H( ˆ P |P) }

50 / 65

. . . .

Bid price, ask price

前頁まで見ていたのは「買い方」の考える価格

同様に「売り方」から見た

utility indifference price

も定義出来る

以下

, parameter of risk aversion

も含め

,

各々の価格を以下のように表記する

p

bid^(n,α)

= p

⁽ⁿ⁾

= inf

Q∈M

{

E

[H] + 1

αn (H (Q|P) − H( ˆ P|P )) }

, p

ask^(n,α)

= p

⁽⁻ⁿ⁾

= sup

Q∈M

{

E

[H] − 1

αn (H (Q|P) − H( ˆ P|P )) }

α ≤ β, n ≤ m

の時

,

Q∈M inf E ^Q [H ] ≤ p ^(m,β) bid ≤ p ^(n,α) bid ≤ E[H] ˆ ≤ p ^(n,α) ask ≤ p ^(m,β) ask ≤ sup

Q∈M

E ^Q [H ]

51 / 65

. . . . . . . .. . . .

Utility Indifference Price

Utility Indifference with Exponential Utility

-4-..

Bid price, ask price

. Theorem (Delbaen et al. (2002)) ..

.

n→∞ lim p _bid ^(n,α) = lim

α→∞ p _bid ^(n,α) = inf

Q∈M E ^Q [H],

n→∞ lim p _ask ^(n,α) = lim

α→∞ p _ask ^(n,α) = sup

Q∈M

E ^Q [H]

. Theorem (Fujiwara and Miyahara(2003)) ..

.

n→ lim 0 p _ask ^(n,α) = lim

α→ 0 p _ask ^(n,α) = E[H], ˆ

n→ lim 0 p _bid ^(n,α) = lim

α→ 0 p _bid ^(n,α) = E[H] ˆ

52 / 65

. . . .

. Definition ..

.

(Y

)

: stochastic discount factor (SDF) ⇐⇒

^def

Y

₀

= 1, Y

> 0 a.s., YS

ⁱ

: P-local martingale,

^∀

i = 0, 1, . . . , N

今

S

⁰

≡ 1

としているので,

Y

自身が

P -local martingale

割引を考える場合はY˜=YS⁰としてYS⁰= ˜Y(Sⁱ/S⁰)と考える

例えば

EMM

や

ELMM (equivalent local martingale measure)

Q

に対して

Y

= E[ dQ dP |F

]

とすれば

Y

は

SDF,

即ち^∃

E(L)MM = ⇒

^∃

SDF

しかし,^∃

E(L)MM ⇐ =

^∃

SDF

ではない

Elworthy-Li-Yor (1999):N= 1としてS¹を3-dim. Bessel processとすると1/S¹が唯一のSDF

Elworthy-Li-Yor (1999):N= 1としてS¹をreciprocal 3-dim.

Bessel process, (Ft)t: generated byS¹とした時,Pは唯一の ELMMでありS₀¹>E[ST¹]

よって, SDFは

E(L)MM

を一般化した概念と言える

53 / 65

. . . . . . . .. . . .

Stochastic Discount Factor

-2-..

寄り道

: Utility-based pricing model

との関係

(single period model)

簡単のため

, N = 1

とした時の

static programming (t = 0, T )

を考えてみる

V

(x) = sup

E[U(X

_T^x,π

)], X

_T^x,π

= x + π(S

− S

₀

)

適当な数学的仮定の下で

, first order condition

より

∂

∂π E[U(x + π(S

− S

))]|

π=ˆπ

= 0

⇐⇒ S

₀

= E[U

^′

( ˆ X

)S

] E[U

^′

( ˆ X

)]

Davis price (marginal price)

も同じ形をしている事に注意

Y

= U

^′

( ˆ X

)

E[U

^′

( ˆ X

)]

^と見ると

,

これは

1

期間モデルにおける

SDF

と見る事が出来る

同時に

EMM

の

density

にもなっている

54 / 65

. . . .

Black-Scholes type market における SDF Riskless asset : S

_t⁰

≡ 1

Risky assets : dS

_tⁱ

= S

_tⁱ

(µ

ⁱ_t

dt +

∑

j=1

σ

^ij_t

dB

_t^j

) . Definition

..

.

θ : risk premium (market price of risk) ⇐⇒

^def

θ : d-dim. adapted process s.t.

σ

^⊤

θ = µ,

^∀

t , a.s.

Θ = the set of all risk premia

c := σ

^⊤

σ : covariance matrix Assume that c is invertible

55 / 65

. . . . . . . .. . . .

Stochastic Discount Factor

-4-..

Black-Scholes type market における SDF (Cont’d.) . Theorem

..

. Θ ̸= φ ⇐⇒

∫ T

0 |σ t c _t ⁻¹ µ t | ² dt < ∞ a.s. ⇐⇒ NUPBR N = d ⇒ Θ = {σc

⁻¹

µ} (single point)

N < d ⇒ Θ = {σc

⁻¹

µ + κ ; κ : adapted, θ

^⊤

κ = 0}

56 / 65

. . . .

Merton proportion との関係

θ

^∗

= σc

⁻¹

µ

は

log utility

に対する

Merton problem

の解

(Merton proportion)

に

,

以下の意味で対応している簡単のため

N = d = 1

として

,

初期保有額を

1,

投資比率

(not

保有証券量

or

額

)

過程を

π

^∗

= c

⁻¹

µ

とすると

,

適当な数学的仮定の下で

π

^∗_t

= µ

σ

_t²

, dX

_t^∗

X

_t^∗

= π

^∗_t

dS

S

= (θ

^∗_t

)

dt + θ

^∗_t

dB

−→ X

_t^∗

= exp (∫

θ

^∗_s

dB

+ 1 2

∫

(θ

_s^∗

)

ds )

, Y

_t^∗

:= (X

_t^∗

)

⁻¹

= e

(

−

∫

^·

θ

^∗_s

dB

)

= U

^′

(X

_t^∗

) = U

^′

(X

_t^∗

) E[U

^′

(X

_t^∗

)] , where U(x) = log x

V (x) = sup E[U (X

)] = sup E[log X

] = E[log X

_T^∗

] = 1

2 ∫

(θ

^∗_s

)

ds

57 / 65

. . . . . . . .. . . .

Stochastic Discount Factor

-6-..

SDF in Brownian BS market . Theorem

..

.

Assume that (F t ) t is generated by (B t ) t . Then:

∀ Y : SDF, ^∃ κ : adapted, σ ^⊤ κ = 0 s.t.

Y = e (

− ∫ ·

0 θ ^∗ _s dB _s ) e (

− ∫ · 0 κdB _s )

.

なお, semimartingale 分解 S = S

+ M + A を考えた時, 条件 σ

^⊤

κ = 0 は ∫

κ

dB

の M への (local martingale としての) orthogonality に対応している

58 / 65

. . . .

SDF v.s. “law of one price” (conti.-time model) . Definition

..

.

M : strictly local martingale ⇐⇒

^def

M is a local martingale, but NOT a martingale

(τ

)

nを

, M

·∧τnが

martingale

となる

stopping time

の増大列

(→ ∞)

として

, Fatou

の

lemma

より

,

E[M

|F

] ≤ lim inf

E[Mt ∧ τ

|F

] = M

, s < t M

は

martingale

ではないので

,

ある

s < t

で

E[M

|F

] < M

となっている

Elworthy-Li-Yor (1999)

の例

: S

₀

> E[S

]

⇒

E[S

]

とは何か？？

なおこのmarket modelにおいて1はSDF,PはELMMである

その他の

strictly local martingale

の例

: CEV process with α > 1 (Lewis, (2000))

59 / 65

. . . . . . . .. . . .

SDF and Pricing Rule

Pricing Rule

-1-..

Pricing rule in discrete-time model Trading times : t = 0, 1, . . . , T

(Ω, F, P) ; standard probability space, (F

)

: discrete-time filtration

Pricing rule : t + 1

時点の

L

²な

payoff q

に対する

t

時点の

pricing rule

を

π

(q, ω)

とする

作用素としては

π

(·, ω) : L

(Ω; p(ω, ·)) −→ R

と考える,但し

p

は

regular conditional probability measure

π

(ω)

は

a.s.

に

continuous linear operator

になっているとすると, Rieszの表現定理により

π

(q, ω) = (

^∃

ζ

_t+1^ω

, q)

L²(Ω,p(ω,·))

= E[ζ

_t+1^ω

q|F

](ω)

ζ

t+1 を

measurable

に,即ち

random variable

として取れる時, これを

pricing kernel

と呼ぼう

実際,適当な仮定の下で

pricing kernel

は存在する

(Hansen-Richard (1987), conditional version of the Riesz representation theorem)

60 / 65

. . . .

Pricing rule in discrete-time model (Cont’d.)

各時点で価格を観測可能な証券を任意に取り

,

その価格過程を

(P

)

t と置く

Pricing rule (π

)

t が

consistent

であるために

P

= π

(P

t+1

)

という条件を考えるのが自然

(

この時

(π

)

tを

time consistent

と呼ぼう

)

この時

, Y

:=

∏

i=1

ζ

iと置くと

,

E[Y

P

|F

] = E[Y

T−1

E[ζ

P

|F

T−1

]|F

]

= E[Y

T−1

P

T−1

|F

] = · · ·

= Y

P

→

(Y

P

)

: martingale ∴ (Y

)

: SDF

更に

π

(1) = 1 (cash price

の

consistency)

と仮定すれば

(Y

)

自身も

martingale

となる dQ=YTdPはEMM

61 / 65

. . . . . . . .. .

SDF and Pricing Rule

Pricing Rule

-3-..

Pricing rule in conti.-time model Trading times : t ∈ [0, T ]

Pricing rule : t 時点の L

な payoff q に対する 0 時点の pricing rule を π

(q) とする:

π

: L

(Ω, F

, P) −→ R

π

(ω) を continuous linear operator になっているとすると,(通常の) Riesz の表現定理により

π

(q) = E[

^∃

Y

q]

62 / 65

. . . .

Pricing rule in conti.-time model (Cont’d.)

更に,

t

時点の

L

² な

payoff q

に対する

s

時点の

pricing rule

を

π

s,t

(q)

とする

Conditional version of the Riesz representation theorem

により,適当な仮定の下で

π

s,t

(q) = E[

^∃

Y

s,t

q|F

] Assume that:

Time consistency : π

( q ) = π

( π

_s,t

( q )), s < t Case price consistency : π

s,t

(1) = 1, s < t

この時,簡単な計算により

Y

s,t

= Y

/Y

a.s.

であり, (Yt

)

t が

martingale

である事が分かる

証券

(S

)

t の

t

時点での価格

: law of one price

に従えば

S

= π

t,T

(S

) = Y

_t⁻¹

E[Y

S

|F

] a.s.

→

(Y

S

)

t は

martingale, ∴ (Y

)

: SDF

63 / 65

. . . . . . . .

SDF and Pricing Rule

Pricing Rule

-5-..

Pricing rule in conti.-time model (Cont’d.)

逆に, tradable assets を持った市場モデルを考え SDF (Y

)

の存在を仮定する

S

_t⁰

≡ 1

を考慮し

Y

_自身が

P-local martingale

とする

(Y

)

が L

-martingale と仮定すると,

π

s,t

(q) = 1 Y

E[Y

q|F

]

が continuous linear consistent pricing rule になる事は容易に分かる

なおこの時, Y の positivity 及び伊藤の公式から, Y がある local martingale M によって Y = e(M ) と書ける事も容易に分かる

64 / 65

ドキュメント内講演資料置き場名城大学春季セミナー2015 2nd body (ページ 49-65)

Q∈M H(Q|P ) 同様に

U

(x) = αe

= αU (x) I (x) = − 1

α log y

α , U(y) = ˜ − y α + y

α log y α

V ˜ (y)

V ˜ (y ) = inf

E [

U ˜ (

y dQ dP

)]

= inf

E [

− y α

dQ dP + y

α dQ dP log

( y α

dQ dP

)]

= inf

{ U(y ˜ ) E [ dQ

dP ]

+ y

α H(Q|P )}

= U(y ˜ ) + inf

H(Q|P )

Utility Indifference with Exponential Utility

-2-..

Duality

V (x) = inf

{ V ˜ (y) + xy}

= inf

{ y

α (−1 + log y/α) + y inf

H(Q|P) + xy}

= − exp(−αx − inf

H(Q |P))

= − exp(−αx − H( ˆ P|P)), where ˆ P is MEMM

V

(x) = −exp(−αx − inf

{H(Q|P) + αn E

[H]}) Utility indifference price p

V

(x − np

) = V (x)

p

= 1 αn

{

inf (H(Q|P) + αn E

[H]) − H( ˆ P |P) }

Bid price, ask price

utility indifference price

, parameter of risk aversion

,

p

= p

= inf

{

E

[H] + 1

αn (H (Q|P) − H( ˆ P|P )) }

, p

= p

= sup

{

E

[H] − 1

αn (H (Q|P) − H( ˆ P|P )) }

α ≤ β, n ≤ m

,

Q∈M inf E Q [H ] ≤ p (m,β) bid ≤ p (n,α) bid ≤ E[H] ˆ ≤ p (n,α) ask ≤ p (m,β) ask ≤ sup

Q∈M

E Q [H ]

Utility Indifference with Exponential Utility

-4-..

Bid price, ask price

. Theorem (Delbaen et al. (2002)) ..

.

Q∈M inf E ^Q [H ] ≤ p ^(m,β) bid ≤ p ^(n,α) bid ≤ E[H] ˆ ≤ p ^(n,α) ask ≤ p ^(m,β) ask ≤ sup

E ^Q [H ]

n→∞ lim p _bid ^(n,α) = lim

α→∞ p _bid ^(n,α) = inf

Q∈M E ^Q [H],

n→∞ lim p _ask ^(n,α) = lim

α→∞ p _ask ^(n,α) = sup

E ^Q [H]

n→ lim 0 p _ask ^(n,α) = lim

α→ 0 p _ask ^(n,α) = E[H], ˆ

n→ lim 0 p _bid ^(n,α) = lim

α→ 0 p _bid ^(n,α) = E[H] ˆ